Interpolation de Lagrange - Corrigé

Énoncé

Soit $x_1,x_2$ et $x_3$ trois nombres complexes distincts.

Soit $y_1,y_2$ et $y_3$ trois nombres complexes.

On note $P$ le polynôme défini sur $\mathbb{C}$ par : $P(z)=y_1{\displaystyle \frac{(z-x_2)(z-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}}+y_2{\displaystyle \frac{(z-x_1)(z-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}}+y_3{\displaystyle \frac{(z-x_1)(z-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}}$ .

1. Calculer $P(x_1),P(x_2)$ et $P(x_3)$ .

2. On note $Q$ un polynôme de degré au plus $2$ tel que $Q(x_1)=y_1$ , $Q(x_2)=y_2$ et $Q(x_3)=y_3$ .  On note $R$ le polynôme défini sur $\mathbb{C}$ par $R(z)=P(z)-Q(z)$ .  Déterminer des racines de $R$ .

3. Quel degré a au plus le polynôme $P$  ?
On considère le plan muni d'un repère $(\text{O},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ .  Dans le cas où $x_1,x_2,x_3$ et $y_1,y_2,y_3$ sont des réels, on considère les points $\text{A}(x_1,y_1),\text{B}(x_2,y_2)$ et $\text{C}(x_3,y_3)$ .  Montrer que le polynôme $P$ est un polynôme de degré $2$ si et seulement si les points $\text{A},\text{B}$ et $\text{C}$ ne sont pas alignés.

4. En déduire (dans le cas où $x_1,x_2,x_3$ et $y_1,y_2,y_3$ sont des complexes) le degré qu'a au plus le polynôme $R$ .  Que peut-on en déduire pour $R$ ? Et pour $Q$ ?

Solution
1. $P(x_1)=y_1{\displaystyle \frac{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}}+y_2{\displaystyle \frac{(x_1-x_1)(x_1-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}}+y_3{\displaystyle \frac{(x_1-x_1)(x_1-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}}=y_1+0+0=y_1$ .
De même $P(x_2)=y_2$ et $P(x_3)=y_3$ .

2. On a $R(x_1)=P(x_1)-Q(x_1)=x_1-x_1=0$ , et de même $R(x_2)=R(x_3)=0$ .
Donc $x_1,x_2$ et $x_3$ sont trois racines distinctes de $R$ .

3. $P$ est un polynôme de degré au plus $2$ (comme somme de polynôme de degré $2$ ). 
Le coefficient du terme en $z^2$ est : 
${\displaystyle \frac{y_1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}}+{\displaystyle \frac{y_2}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}}+{\displaystyle \frac{y_3}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}}={\displaystyle \frac{y_1(x_2-x_3)-y_2(x_1-x_3)+y_3(x_1-x_2)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)}}$ .
Ce coefficient vaut $0$ si et seulement si $y_1(x_2-x_3)-y_2(x_1-x_3)+y_3(x_1-x_2)=0$ .

Dans le cas où $x_1,x_2,x_3$ et $y_1,y_2,y_3$ sont des réels, les points $\text{A}(x_1,y_1),\text{B}(x_2,y_2)$ et $\text{C}(x_3,y_3)$ sont alignés si et seulement si $det(\overrightarrow{\text{A}\text{B}};\overrightarrow{\text{A}\text{C}})=0$ .
Or  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}(x_2-x_1,y_2-y_1)\text{ et }\overrightarrow{\text{A}\text{C}}(x_3-x_1,y_3-y_1)$
donc $det(\overrightarrow{\text{A}\text{B}};\overrightarrow{\text{A}\text{C}})=(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)$
donc $det(\overrightarrow{\text{A}\text{B}};\overrightarrow{\text{A}\text{C}})=y_1(-x_2+x_1+x_3-x_1)+y_2(-x_3+x_1)+y_3(x_2-x_1)$

donc $det(\overrightarrow{\text{A}\text{B}};\overrightarrow{\text{A}\text{C}})=y_1(x_3-x_2)-y_2(x_1-x_3)+y_3(x_2-x_1)$ .

Finalement, le coefficient du terme en $z^2$ de $P$ vaut $0$ si et seulement si  $det(\overrightarrow{\text{A}\text{B}};\overrightarrow{\text{A}\text{C}})=0$  
si et seulement si les points $A,B$ et $C$ sont alignés.

4. Or  $P$ est un polynôme de degré au plus $2$ (comme somme de polynôme de degré $2$ ) et $Q$ est un polynôme de degré au plus $2$ , donc $R$ est un polynôme de degré au plus $2$ . $R$ devrait donc avoir au plus 2 racines. On en déduit que $R$ est le polynôme nul.
Donc $P=Q$ : il n'existe qu'un seul polynôme $P$ de degré au plus $2$ tel que $P(x_1)=y_1$ , $P(x_2)=y_2$ et $P(x_3)=y_3$ .