Interpolation de Lagrange - Corrigé

Énoncé

Soit \(x_1 , x_2\) et \(x_3\) trois nombres complexes distincts.

Soit \(y_1 , y_2\) et \(y_3\) trois nombres complexes.

On note \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par : \(P(z) = y_1 \dfrac{(z-x_2)(z-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+ y_2 \dfrac{(z-x_1)(z-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}+ y_3 \dfrac{(z-x_1)(z-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}\) .

1. Calculer \(P(x_1) , P(x_2)\) et \(P(x_3)\) .

2. On note \(Q\) un polynôme de degré au plus \(2\) tel que \(Q(x_1)=y_1\) , \(Q(x_2)=y_2\) et \(Q(x_3)=y_3\) .  On note \(R\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par \(R(z) = P(z)-Q(z)\) .  Déterminer des racines de \(R\) .

3. Quel degré a au plus le polynôme \(P\)  ?
On considère le plan muni d'un repère \((\text O,\vec{u}, \vec{v})\) .  Dans le cas où \(x_1 , x_2 , x_3\) et \(y_1 , y_2 , y_3\) sont des réels, on considère les points \(\text A(x_1,y_1) , \text B(x_2,y_2)\) et \(\text C(x_3,y_3)\) .  Montrer que le polynôme \(P\) est un polynôme de degré \(2\) si et seulement si les points \(\text A ,\text B\) et \(\text C\) ne sont pas alignés.

4. En déduire (dans le cas où \(x_1 , x_2 , x_3\) et \(y_1 , y_2 , y_3\) sont des complexes) le degré qu'a au plus le polynôme \(R\) .  Que peut-on en déduire pour \(R\) ? Et pour \(Q\) ?

Solution
1. \(P(x_1) = y_1 \dfrac{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+ y_2 \dfrac{(x_1-x_1)(x_1-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} + y_3 \dfrac{(x_1-x_1)(x_1-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} = y_1 +0+0 = y_1\) .
De même \(P(x_2)=y_2\) et \(P(x_3)=y_3\) .

2. On a \(R(x_1) = P(x_1)-Q(x_1)= x_1 - x_1 =0\) , et de même \(R(x_2)=R(x_3)=0\) .
Donc \(x_1 , x_2\) et \(x_3\) sont trois racines distinctes de \(R\) .

3. \(P\) est un polynôme de degré au plus \(2\) (comme somme de polynôme de degré \(2\) ). 
Le coefficient du terme en \(z^2\) est : 
\(\dfrac{y_1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} + \dfrac{y_2}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} + \dfrac{y_3}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}= \dfrac{y_1(x_2-x_3) - y_2(x_1-x_3) + y_3(x_1-x_2)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)}\) .
Ce coefficient vaut \(0\) si et seulement si \(y_1(x_2-x_3) - y_2(x_1-x_3) + y_3(x_1-x_2) = 0\) .

Dans le cas où \(x_1 , x_2 , x_3\) et \(y_1 , y_2 , y_3\) sont des réels, les points \(\text A(x_1,y_1) , \text B(x_2,y_2)\) et \(\text C(x_3,y_3)\) sont alignés si et seulement si \(\det(\vec{\text A\text B}; \vec{\text A\text C})=0\) .
Or  \(\vec{\text A\text B}(x_2-x_1,y_2-y_1) \text{ et } \vec{\text A\text C}(x_3-x_1,y_3-y_1)\)
donc \(\det(\vec{\text A\text B}; \vec{\text A\text C}) = (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)\)
donc \(\det(\vec{\text A\text B}; \vec{\text A\text C})= y_1 (-x_2+x_1+x_3-x_1) + y_2 (-x_3+x_1) + y_3 (x_2-x_1)\)

donc \(\det(\vec{\text A\text B}; \vec{\text A\text C})= y_1 (x_3-x_2) - y_2 (x_1-x_3) + y_3 (x_2-x_1)\) .

Finalement, le coefficient du terme en \(z^2\) de \(P\) vaut \(0\) si et seulement si  \(\det(\vec{\text A\text B}; \vec{\text A\text C})=0\)  
si et seulement si les points \(A,B\) et \(C\) sont alignés.

4. Or  \(P\) est un polynôme de degré au plus \(2\) (comme somme de polynôme de degré \(2\) ) et \(Q\) est un polynôme de degré au plus \(2\) , donc \(R\) est un polynôme de degré au plus \(2\) . \(R\) devrait donc avoir au plus 2 racines. On en déduit que \(R\) est le polynôme nul.
Donc \(P=Q\) : il n'existe qu'un seul polynôme \(P\) de degré au plus \(2\) tel que \(P(x_1)=y_1\) , \(P(x_2)=y_2\) et \(P(x_3)=y_3\) .